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Exercícios de exame nacional

Compilação de exercícios de exame nacional dos últimos 16 anos, organizados por grupos e temas.
Clique sobre um tema para visualizar os enunciados. Número total de exercícios: 125.

NOTA - Conteúdo suscetível de sair no exame nacional de 2021 e que não saiu nos exames nacionais de anos anteriores: Interseção de uma reta com um sólido.

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Grupo 1

Interseções (19)

Exercício 1

Determine as projeções do ponto I de interseção da reta oblíqua r com o plano oblíquo β.
Dados

  • a reta r é definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);
  • os traços do plano β intersetam o eixo x num ponto com – 2 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 50º com o referido eixo (o traço horizontal com abertura para a direita, e o traço frontal com abertura para a esquerda).

Proposta de resolução (2005 / 2ª Fase / Prova 409 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 2

Determine as projeções do ponto I de interseção do plano oblíquo β com a reta t.
Dados

  • o plano β contém o ponto P (0; 3; 6) e a reta h, definida pelos pontos M (4; 3; 2) e N (– 1; 6; 2);
  • a reta t é de topo, tem – 3 de abcissa e 4 de cota.

Proposta de resolução (2005 / 1ª Fase / Prova 409 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 3

Determine as projeções do ponto I, de intersecção da reta oblíqua r com o plano de rampa ρ.
Dados

  • a reta r é definida pelos pontos R (2; 1; 4) e S (0; 2; 2);
  • os traços horizontal e frontal do plano de rampa ρ tem, respetivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 409 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 4

Determine as projeções da reta i, de interseção dos planos oblíquos β e ω.
Dados

  • o plano β é definido pelas retas paralelas r e s;
  • a recta r contém os pontos R (0; 1 ; 5) e S (1 ; 2; 3);
  • a reta s contém o ponto T (4; 1 ; 2);
  • os traços do plano ω, intersetam-se num ponto com -8 de abcissa: o traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, e o traço frontal faz um angulo de 60° com o mesmo eixo (ambos de abertura para a esquerda).

Proposta de resolução (2006 / 1ª Fase / Prova 409 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 5

Determine a reta de interseção ido plano de rampa ρ com o plano oblíquo α.
Dados

  • o plano de rampa ρ contém as retas fronto-horizontais a e b;
  • a reta a tem 3 de afastamento e 3 de cota e a reta b tem 5 de afastamento e 2 de cota;
  • os traços horizontal e frontal do plano oblíquo α fazem, ambos, ângulos de 45º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Proposta de resolução (2006 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 6

Determine o ponto de intersecção, I, da reta horizontal n com o plano de rampa ρ.
Dados

  • o plano ρ é definido pelo ponto A (–2; 2; 8) e pela reta a;
  • a reta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β2,4;
  • a reta n contém o ponto N (–4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção.

Proposta de resolução (2007 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 7

Determine as projeções do ponto de intersecção, I, da reta de perfil r com o plano de rampa ρ.

  • o plano ρ tem o seu traço horizontal com -7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
  • a reta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β2,4).

Proposta de resolução (2008 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 8

Determine as projeções da reta de intersecção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.
Dados

  • o plano π intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
  • os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respetivamente, ângulos de 50º (a.d.) e de 30º (a.d.) com o eixo x;
  • o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).

Proposta de resolução (2009 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 9

Determine as projeções da reta de intersecção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.
Dados

  • os traços do plano α intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
  • o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela reta b;
  • o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
  • a reta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

Proposta de resolução (2009 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 10

Determine as projeções da reta de intersecção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.
Dados

  • o plano δ está definido por uma reta de maior declive, d;
  • a reta d contém o ponto P (–2; 3; 4);
  • as projeções, horizontal e frontal, da reta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, e de 50º, de abertura para a direita, respetivamente;
  • os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respetivamente.

Proposta de resolução (2011 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 11

Determine as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta de topo t com o plano oblíquo δ.
Dados

  • a reta t tem –5 de abcissa e 5 de cota;
  • o plano δ está definido por duas retas paralelas, a e b;
  • a reta a é passante e contém o ponto M (4; 4; 3);
  • a projeção frontal da reta a faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • a reta b contém o ponto N (6; 4; –1).

Proposta de resolução (2013 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 12

Determine as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta fronto-horizontal g com o plano α.
Dados

  • a reta g, com 6 de afastamento, pertence ao β13, bissetor dos diedros ímpares;
  • o plano α é definido pelo ponto K do eixo x com 4 de abcissa e pela reta frontal f;
  • a reta f contém o ponto P (0; 4; 3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Proposta de resolução (2014 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 13

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta r com o plano α.
Dados

  • o plano α contém o ponto A (5; –2; 3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
  • o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o eixo x;
  • a reta r contém o ponto P (–7; 0; 0);
  • a projeção horizontal da reta r é perpendicular ao traço horizontal do plano α;
  • a projeção frontal da reta r é paralela ao traço frontal do plano α.

Proposta de resolução (2016 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 14

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta r com o plano ρ.
Dados

  • a reta r contém o ponto T, do eixo x, com zero de abcissa;
  • a projeção horizontal da reta r define um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x;
  • a projeção frontal da reta r define um ângulo de 25º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • o plano ρ é definido pelo ponto S (0; –2; 8) e pela reta fronto-horizontal m;
  • a reta m tem -6 de afastamento e 2 de cota.

Proposta de resolução (2018 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 15

Determine as projeções da reta de intersecção dos planos de rampa θ e passante σ.
Dados

  • o plano θ contém a reta de perfil p, definida pelos pontos F (‒2; 0; 4) e A, com ‒2 de afastamento e 7 de cota;
  • o plano σ contém o ponto R (4; 6; ‒2).

Proposta de resolução (2018 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 16

Determine as projeções do ponto I, resultante da intersecção da reta f com o plano α.
Dados:

  • o plano α é definido pelo ponto R (8; 0; 6) e pela reta horizontal h;
  • a reta h contém o ponto S (2; 2; 3) e define um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
  • a reta f é frontal e contém o ponto M (0; 7; –7);
  • a projeção frontal da reta f é perpendicular ao traço frontal do plano α.

Proposta de resolução (2019 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 17

Determine as projeções dos traços, nos planos bissectores β13 e β24, da reta i resultante da intersecçãodos planos oblíquos α e θ.
Dados:

  • o plano α é definido pelo ponto T, do eixo x, com –10 de abcissa, e pela reta horizontal h;
  • a reta horizontal h define um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção, e o seu traço frontal tem 5 de abcissa e 7 de cota;
  • o plano θ contém o ponto M, do eixo x, com abcissa zero;
  • o traço horizontal do plano θ define um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x, e o seu traço frontal define um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com este mesmo eixo.

Proposta de resolução (2019 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 18

Represente os traços dos planos α e θ nos planos de projeção.
Dados:

  • a reta i, de perfil, pertencente ao bissector dos diedros pares, β24 , é comum aos dois planos;
  • o ponto P, com zero de abcissa e 5 de cota, pertence à reta i;
  • o ponto A (– 6; 5; 2) pertence ao plano α;
  • o traço frontal do plano θ define um ângulo de 70º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Proposta de resolução (2020 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 19

etermine as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta r com o plano α.
Dados:

  • o plano α contém o ponto T do eixo x, de abcissa nula, e o ponto A do bissector dos diedros pares, β24, com 3 de abcissa e 7 de cota;
  • o traço horizontal do plano α define um ângulo de 65º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • a reta r pertence ao bissector dos diedros pares, β24, e a sua projeção frontal define um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • o ponto B (0; – 7; 7) pertence à reta r.

Proposta de resolução (2020 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Paralelismo (8)

Exercício 1

Determine as projeções da reta b paralela ao plano α e ao plano bissetor dos diedros pares (β2,4).
Dados

  • o plano α é definido pelas retas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
  • o ponto H, traço horizontal da reta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
  • a reta s é passante e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • a reta b contém o ponto B (–5; 3; 2).

Proposta de resolução (2008 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 2

Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.
Dados

  • o plano α é definido pelas retas a e b;
  • a reta a contém o ponto S (3; 5; 3);
  • as projeções, horizontal e frontal, da reta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respetivamente
  • a reta b pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;
  • o plano π contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

Proposta de resolução (2010 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 3

Determine as projeções do ponto I, traço da reta b, no plano bissetor dos diedros pares (β2,4).
Dados

  • a reta b é paralela ao plano δ;
  • a reta b contém o ponto P (–7; 7; –2);
  • a projeção horizontal da reta b faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x;
  • o plano δ está definido pelos pontos R (3; 6; 3), S (0; 6; 5) e T (–3; 1; 5).

Proposta de resolução (2011 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 4

Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.
Dados

  • o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;
  • a reta a tem 3 de afastamento e 8 de cota;
  • a reta b pertence ao bissector dos diedros pares, β24, e tem 4 de cota;
  • o plano μ contém o ponto P (6; 5; 6).

Proposta de resolução (2012 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 5

Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.
Dados

  • o plano α é definido pelos pontos A, B e C;
  • o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β13, bissetor dos diedros ímpares;
  • o ponto B, com –6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β24, bissetor dos diedros pares;
  • ponto C (–8; 4; –4);
  • o plano θ contém o ponto P (–2; 2; –6).

Proposta de resolução (2014 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 6

Determine os traços do plano θ paralelo ao plano de rampa ω.
Dados

  • o plano ω contém a reta de perfil p, definida pelos pontos A (3; 3; 6) e B com 9 de afastamento e –2 de cota;
  • o plano θ contém o ponto P de abcissa nula e –5 de cota, pertencente ao Plano Frontal de Projeção.

Proposta de resolução (2015 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 7

Represente as projeções da reta r, paralela a um plano de rampa δ.
Dados:

  • o plano δ contém a reta de perfil p;
  • a reta p contém o ponto A (0; –2; 4) e define um ângulo de 30º com o Plano Horizontal de Projeção;
  • o traço horizontal da reta p tem afastamento negativo;
  • a reta r contém o ponto T (–4; 8; 2);
  • a projeção horizontal da reta r define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x.

Proposta de resolução (2017 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 8

Determine os traços do plano θ, paralelo ao plano α.
Dados:

  • o plano α é definido pelos pontos A (–2; 4; 3), B (–4; 5; 3) e C (1; 4; 0);
  • o plano θ contém o ponto P (3; –4; 2).

Proposta de resolução (2017 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Perpendicularidade (7)

Exercício 1

Represente, pelas suas projeções, a reta p, perpendicular ao plano α.
Dados

  • o plano oblíquo α é definido pelos pontos A (5; – 6; 6), B (0; 1,5; 3) e C (– 5; 5; 3);
  • a reta p contém o ponto Q (– 7; 5; 10)

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 2

Determine os traços do plano β, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano α.
Dados
Plano α:

  • o plano α contém o ponto A (3; 6; 4) e uma reta horizontal h;
  • a reta h tem 8 de cota, faz, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 50°, com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.

Plano β:

  • o plano β contém os pontos P (0; 2; 4) e R (–5; 0; 0).

Proposta de resolução (2007 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 3

Determine as projeções da reta s perpendicular à reta r.
Dados

  • a reta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;
  • a reta s, concorrente com a reta r, contém o ponto P (0; 5; 2).

Proposta de resolução (2010 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 4

Determine os traços do plano de rampa δ ortogonal ao plano θ.
Dados

  • o plano θ contém o ponto A (4; 3; 2) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
  • o traço horizontal do plano θ faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • o plano δ contém o ponto P (–6; 7; 5).

Proposta de resolução (2012 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 5

Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.
Dados

  • a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;
  • a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o eixo x.

Proposta de resolução (2013 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Exercício 6

Determine os traços do plano α perpendicular ao plano de rampa δ.
Dados

  • o plano δ é definido pelo seu traço horizontal com 6 de afastamento e pelo ponto A;
  • o ponto A, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13;
  • o plano α contém o ponto P (0; 9; 8);
  • o traço frontal do plano α forma um ângulo de 45°, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Proposta de resolução (2015 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Exercício 7

Determine os traços do plano θ, perpendicular ao plano α.
Dados

  • o plano α é definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (0; 2; 4);
  • o traço frontal do plano α contém o ponto B do eixo x, com abcissa nula, e faz um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • o plano θ contém o ponto P (0; 4; 2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Proposta de resolução (2016 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 1)

Grupo 2

Figuras planas (13)

Exercício 1

Represente o quadrado [ABCD] situado no primeiro diedro.
Dados

  • o quadrado está contido num plano de rampa;
  • os pontos A (1; 1; 7) e C (– 1; 4; 2) definem uma diagonal do quadrado.

Proposta de resolução (2005 / 2ª Fase / Prova 409 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 2

Represente o retângulo [ABCD], situado no primeiro diedro.
Dados

  • o ponto A (-1; 2; 3) e o ponto B, com 1 de abcissa, são dois vértices consecutivos do retângulo;
  • o retângulo está contido no plano vertical δ, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a esquerda);
  • o lado [AB] está contido numa reta cujas projeções, horizontal e frontal, são paralelas entre si;
  • o lado maior do retângulo mede 7 cm.

Proposta de resolução (2005 / 1ª Fase / Prova 409 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 3

Represente o triângulo equilátero [ABC], situado no 1º diedro.
Dados

  • o triângulo está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (4; 3; 2), e um dos seus vértices é o ponto A (6; 1 ; 4)
  • o triângulo está contido no plano oblíquo ω, cujo traço horizontal faz um ângulo de 55º com o eixo x (de abertura para a esquerda).

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 409 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 4

Represente o hexágono regular [ABCDEF], situado no 1º diedro.
Dados

  • o hexágono está contido no plano de topo θ;
  • o traço frontal do plano θ contém um ponto do eixo x com 4 de abcissa e faz um ângulo de 50º com o mesmo eixo (de abertura para a direita);
  • o vértice A do hexágono tem 2 de abcissa e pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares;
  • o vértice B tem abcissa nula e 2 de afastamento.

Proposta de resolução (2006 / 1ª Fase / Prova 409 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 5

Represente pelas suas projeções o quadrado [ABCD] contido num plano oblíquo β.
Dados

  • o ponto A (– 5,5; 5; 3) é um dos seus vértices;
  • o vértice C tem abcissa nula e 2,5 de afastamento;
  • a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante p;
  • o traço horizontal do plano β faz, com o eixo x, 45º (abertura para a direita).

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício )

Exercício 6

Represente, pelas suas projeções, horizontal e frontal, o retângulo [ABCD] do 1.º diedro e contido num plano de rampa δ.
Dados

  • o traço horizontal hδ do plano de rampa tem 6 de afastamento;
  • o vértice A pertence ao plano frontal de projeção, tem 2 de abcissa e 4 de cota;
  • o lado [AB] faz, com o traço frontal do plano δ, um ângulo de 35°, com abertura para a direita, e é um dos lados maiores do retângulo;
  • os lados medem 3 cm e 6 cm.

Proposta de resolução (2007 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Exercício 7

Represente pelas suas projeções um quadrado com uma circunferência inscrita, existentes ambos no plano vertical α, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine rigorosamente, nas projeções da circunferência, os seus pontos de maior e de menor cota (A e B), mais à esquerda e mais à direita (E e D), e os seus pontos de tangência com os lados do quadrado (P, Q, R e S).
Dados

  • o plano α intersecta o eixo x no ponto de abcissa –2 e faz um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
  • o centro, M, do quadrado tem 4 de afastamento e pertence ao β1,3;
  • as diagonais medem 7 cm; uma é horizontal e a outra é vertical.

Proposta de resolução (2007 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Exercício 8

Represente pelas suas projeções o triangulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.
Dados

  • o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
  • o lado [BC] pertence à reta s;
  • o ponto F, traço frontal da reta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
  • as projeções, horizontal e frontal, da reta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.

Proposta de resolução (2008 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Exercício 9

Determine as projeções do triângulo [LMN].
Dados

  • o triângulo está situado no 1.º diedro;
  • o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;
  • o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;
  • o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;
  • o lado [LN] mede 8 cm;
  • o ponto N é o vértice de menor cota.

Proposta de resolução (2010 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Exercício 10

Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.
Dados

  • o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (0; 2; 5);
  • a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;
  • o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.

Proposta de resolução (2013 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Exercício 11

Determine as projeções de um retângulo [ABCD] situado num plano oblíquo δ e no 1.º diedro.
Dados

  • o plano δ é definido pelo ponto M do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma reta horizontal h;
  • a reta horizontal h contém o vértice A (0; 3; 2) e define um ângulo de 55º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
  • o lado [AB] do retângulo mede 9 cm e o vértice B tem cota nula;
  • os lados menores do retângulo medem 6 cm.

Proposta de resolução (2016 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Exercício 12

Determine as projeções de um hexágono regular [ABCDEF], pertencente a um plano oblíquo θ.
Dados

  • o plano θ é definido pelo ponto T, do eixo x, com 4 de abcissa, e pela reta de maior declive d;
  • a reta d contém o ponto O (– 4; 4; 4) e a sua projeção horizontal define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
  • o ponto O é o centro do hexágono e o vértice A, de cota nula, pertence à reta d.

Proposta de resolução (2019 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Exercício 13

Determine as projeções de um retângulo [ABCD], pertencente a um plano de rampa ρ.
Dados

  • a reta de perfil do plano ρ, que contém o vértice B (– 3; 4; 3), define um ângulo de 50º com o Plano Horizontal de Projeção, e o seu traço horizontal tem maior afastamento do que o ponto B;
  • o segmento de reta [AB] é um dos lados menores do retângulo, e o vértice A, com zero de abcissa, pertence ao traço horizontal do plano;
  • os lados maiores do retângulo medem 8 cm.

Proposta de resolução (2019 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Sólidos (9)

Exercício 1

Construa uma representação diédrica de um cone oblíquo de base circular, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Construa uma terceira projeção do cone, lateral, obtida no plano de perfil de projeção yz.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis existentes na representação do sólido.
Dados

  • o ponto P, com 5,5 de abcissa, 3 de afastamento e 2 de cota, é um dos pontos da circunferência da base;
  • a base é horizontal, tem 3,5 cm de raio e centro no ponto O, com 8 de abcissa;
  • o vértice V do cone tem 2 de abcissa e 1,5 de afastamento;
  • a geratriz [VP] do cone faz um ângulo de 60º com o plano da base.

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 1)

Exercício 2

Construa urna representação diédrica de um prisma hexagonal regular, situado no 1ºdiedro e com as bases contidas em planos de rampa, de acordo coom os dados abaixo apresentados.
Construa uma terceira projeção do prisma, lateral, obtida no plano de perfil de projeção yz.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados

  • o ponto O (4; 3; 3), pertencente ao plano de rampa β,é o centro de uma das bases;
  • o vértice J (4; 4; 9) é o vértice de maior cota da outra base do sólido;
  • os planos das bases fazem diedros de 35º com o plano horizontal de projeção

Proposta de resolução (2006 / 1ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 1)

Exercício 3

Construa uma representação diédrica de um paralelepípedo retângulo, situado no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Construa uma terceira projeção do paralelepípedo, lateral, obtida no plano de perfil yz.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados

  • a face [ABCD] do paralelepípedo está assente no plano frontal de projeção;
  • os pontos A, B e C são três vértices consecutivos dessa face;
  • o vértice A tem 3 de abcissa e 5 de cota, e o vértice B tem 7 de abcissa e 1 de cota
  • a aresta [BC] mede 3,5 cm;
  • as diagonais espaciais do sólido medem 9 cm.

Proposta de resolução (2007 / 2ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 1)

Exercício 4

Construa uma representação diédrica de uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Construa uma terceira projeção da pirâmide, lateral, obtida no plano de perfil de projeção yz.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis existentes na representação do sólido.
Dados

  • a base [ABCD] do sólido está contida num plano de topo;
  • os vértices A (2,5; 2; 1,5) e B (2,5; 7; 1,5) são os extremos de uma aresta da base;
  • a face [ABV] da pirâmide está contida num plano de perfil;
  • as arestas laterais medem 7 cm;
  • os vértices C e D ficam situados para a esquerda da face [ABV]

Proposta de resolução (2007 / 1ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 1)

Exercício 5

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Dados

  • a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;
  • os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
  • as diagonais da base medem 10 cm;
  • o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];
  • a pirâmide tem 12 cm de altura.

Proposta de resolução (2009 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 6

Represente, pelas suas projeções, um prisma triangular regular, situado no 1.º diedro.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.
Dados

  • as bases do prisma estão situadas em planos oblíquos, perpendiculares ao plano bissetor dos diedros ímpares (β1,3);
  • a base [ABC] está contida no plano α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a direita, com o eixo x;
  • o ponto A (1; 3; 0) é um dos vértices da base referida;
  • o ponto O’ (3; 10; 9) é o centro da outra base.

Proposta de resolução (2011 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 7

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular [ABC] situada num plano de rampa ω.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados

  • vértice A (5; 3; 6);
  • o traço horizontal do plano ω tem 9 de afastamento;
  • o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;
  • o vértice C tem abcissa negativa;
  • o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção.

Proposta de resolução (2014 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 8

Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular, situada no 1.º diedro.
Dados:

  • a base [ABC] pertence a um plano oblíquo α;
  • o plano α é definido pelos pontos A (–1; 4; 2), B (–4; 0; 9) e K do eixo x com 2 de abcissa;
  • o vértice V da pirâmide tem 4 de abcissa.

Proposta de resolução (2017 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3 )

Exercício 9

Determine as projeções de um prisma reto de bases hexagonais regulares.
Dados:

  • a base [ABCDEF] pertence ao plano oblíquo δ, que contém o ponto M do eixo x com 2 de abcissa;
  • o traço horizontal do plano δ define um ângulo de 55º, de abertura para a direita, com o eixo x;
  • o vértice A tem 4 de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
  • a aresta [AB] é horizontal e mede 6 cm;
  • o vértice F pertence ao Plano Frontal de Projeção;
  • o outro extremo da aresta lateral, que contém o vértice F, tem zero de abcissa.

Proposta de resolução (2020 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 2 )

Grupo 3

Secções (12)

Exercício 1

Represente, em dupla projeção ortogonal, uma pirâmide pentagonal regular de base horizontal e, ainda, um plano de topo π, de acrodo com os dados abaixo apresentados.
Represente as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano π e determine a verdadeira grandeza da secção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis da pirâmide.
Preencha a tracejado, a verdadeira grandeza da secção.
Dados

  • o ponto A (– 5; 9; 1,5) é um dos vértices da base [ABCDE] da pirâmide;
  • o vértice V tem – 5 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota;
  • o plano de topo π faz 35º (a.p.d.) com o plano horizontal de projeção e contém o vértice mais à esquerda da base da pirâmide.

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 2

Determine as projeções da secção produzida pelo plano de topo β num prisma hexagonal oblíquo de bases frontais, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pela secção, que contém a base situada mais à esquerda.
Preencha a tracejado a projeção horizontal da secção, e identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis da parte do sólido que foi posta em destaque.
Dados

  • as bases do prisma são hexágonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical;
  • o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4);
  • as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
  • os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base;
  • o plano β contém o ponto de abcissa –3 do eixo x e faz um ângulo de 55°, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção.

Proposta de resolução (2007 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 3

Represente pelas suas projeções uma pirâmide pentagonal obliqua com base contida no plano horizontal de projeção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.
Dados

  • a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O (4; 5; 0) e 5 cm de raio;
  • a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;
  • o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;
  • o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

Proposta de resolução (2008 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 4

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da base.
Preencha a tracejado a projeção visível da secção.
Dados

  • a base está contida num plano horizontal;
  • o vértice V (0; 6; 10) e o ponto A (5; 6; 2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;
  • o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

Proposta de resolução (2010 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 5

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num prisma triangular oblíquo de bases regulares horizontais, situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal de Projeção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.
Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.
Dados

  • o ponto A (7; 4; 0) e o ponto B (1; 5; 0) são dois dos vértices do triângulo [ABC] de uma das bases do prisma;
  • a aresta lateral [AA’] tem as suas projeções horizontal e frontal a fazerem, respetivamente, ângulos de 25º, de abertura à esquerda, e 45º, de abertura à direita, com o eixo x;
  • o vértice A’ pertence ao Plano Frontal de Projeção;
  • o plano θ contém um ponto do eixo x com 6 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com este mesmo eixo.

Proposta de resolução (2012 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 6

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical δ numa pirâmide regular de base quadrangular [ABCD] situada num plano frontal.
Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.
Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.
Dados

  • o vértice A (0; 9; 0) é o de menor cota;
  • a diagonal [AC] do quadrado da base é vertical e mede 10 cm;
  • o vértice V do sólido pertence ao Plano Frontal de Projeção;
  • o plano δ contém o ponto M, ponto médio do eixo do sólido, e faz um diedro de 55°, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

Proposta de resolução (2014 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 7

Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura de secção produzida por um plano vertical θ, num cubo situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cubo e da figura de secção e a sua verdadeira grandeza.
Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido.
Dados

  • o cubo tem duas faces frontais;
  • o ponto A (3; 0; 3) e o ponto C (7; 0; 10) são vértices de uma diagonal da face frontal [ABCD];
  • o plano θ contém o ponto M do eixo x com –1 de abcissa e forma um diedro de 45°, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.

Proposta de resolução (2015 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 8

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide oblíqua de base quadrada, situada no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.
Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido resultante.
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, as projeções visíveis da secção.
Dados

  • a base da pirâmide [ABCD] pertence ao Plano Frontal de Projeção;
  • o vértice A é um ponto do eixo x com 6 de abcissa;
  • − a aresta [AB] define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;
  • o vértice B tem abcissa nula;
  • a aresta lateral [AV] é de topo e o vértice V tem 8 de afastamento;
  • o plano ρ está definido pelos seus traços horizontal e frontal com, respetivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

Proposta de resolução (2016 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 9

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ numa pirâmide regular de base quadrada.
Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal de Projeção.
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.
Dados:

  • a base da pirâmide [ABCD] pertence a um plano de perfil;
  • o centro da base da pirâmide é o ponto O (0; 4; 5);
  • o vértice A, com 3 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção;
  • o vértice V da pirâmide tem –10 de abcissa;
  • o plano δ define um diedro de 45º, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção e contém o ponto K do eixo x com –8 de abcissa.

Proposta de resolução (2017 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 10

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical δ num cubo.
Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.
Dados:

  • a face [ABCD] do cubo pertence a um plano de perfil com zero de abcissa;
  • o vértice A tem 5 de cota e pertence ao Plano Frontal de Projeção;
  • o lado [AB] define um ângulo de 50º com o Plano Horizontal de Projeção e o vértice B tem cota nula;
  • a outra face de perfil tem abcissa negativa;
  • o plano δ define um diedro de 30º, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção e contém o vértice de maior cota da face de perfil com abcissa zero.

Proposta de resolução (2019 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 11

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano frontal φ num prisma oblíquo de bases quadradas contidas em planos horizontais.
Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido situada entre o plano secante e o Plano Frontal de Projeção.
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.
Dados:

  • os vértices A (6; 4; 0) e C (5; 12; 0) definem uma das diagonais da base [ABCD] do prisma;
  • as arestas laterais são de perfil;
  • o vértice A’, da aresta lateral [AA’], tem afastamento nulo e 8 de cota;
  • o plano φ tem 7 de afastamento.

Proposta de resolução (2020 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 12

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ numa pirâmide reta de base triangular regular contida num plano horizontal.
Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido situada entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projeção.
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.
Dados:

  • o ponto O (5; 6; 8) é o centro da circunferência circunscrita à base, e um dos seus vértices é o ponto A,com 5 de abcissa e 2 de afastamento;
  • a aresta lateral [AV] mede 8 cm, e o vértice V tem menor cota que o vértice A;
  • o plano δ define um diedro de 50º, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção e interseta o eixo x no ponto T com abcissa nula.

Proposta de resolução (2020 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Sombras de figuras planas (1)

Exercício 1

Determine as projeções de um hexágono regular [ABCDEF], pertencente a um plano de rampa ρ, e da suasombra projetada nos planos de projeção.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do hexágono e o contorno visível da sua sombra projetada.
Identifique, a traço interrompido forte, o contorno invisível da sua sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis da sombra projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma manchade grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • a reta de perfil do plano ρ, com 7 de abcissa, contém a diagonal maior [AD] do hexágono;
  • o vértice A, com 5 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção, e o vértice D, com 8 de afastamento, pertence ao Plano Horizontal de Projeção;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2020 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 2)

Sombras de sólidos (20)

Exercício 1

Represente um cone oblíquo de base circular, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as partes invisíveis da separatriz e do contorno da sombra projetada. Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • a base é horizontal, tem centro no ponto O (0; 5; 6) e tem 4 cm de raio;
  • o vértice V do cone tem 2 de abcissa, 5 de afastamento e 1 de cota.

Proposta de resolução (2005 / 2ª Fase / Prova 408 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 2

Represente uma pirâmide hexagonal regular de base de perfil, situada no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível do contorno da sombra projetada. Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • os pontos A (0; 3; 0) e B (0; 6,5; 0) são vértices consecutivos do hexágono da base;
  • o vértice da pirâmide, V, fica situado 7 cm à direita do plano da base.

Proposta de resolução (2005 / 1ª Fase / Prova 408 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 3

Represente uma pirâmide quadrangular regular de base horizontal, situada no 1ºdiedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Represente, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as partes invisíveis do contorno da sombra projetada.
Identifique as arestas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas arestas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)
Dados

  • o vértice da pirâmide é o ponto V (0; 6; 0);
  • o ponto A (3,5; 8; 6) é um dos vértices da base [ABCD].

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 408 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 4

Represente um cubo, situado no 1ºdiedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cubo e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis e a parte invisível do contorno da sombra projetada.
Identifique as arestas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas arestas de sombra própria, e com linhas perpendiculares as respetivas projeções da direção luminosa, nas arestas de sombra projetada.)
Dados

  • a face [ABCD] do cubo é paralela ao plano frontal de projeção;
  • os pontos A e B são dois vértices consecutivos da face [ABCD];
  • o vértice A tem abcissa nula, 2 de afastamento e 5 de cota;
  • o vértice B tem 4 de abcissa e 3 de cota.

Proposta de resolução (2006 / 1ª Fase / Prova 408 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 5

Represente, em dupla projeção ortogonal, uma pirâmide triangular regular de base frontal, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras próprias e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • o ponto A (4; 7; 3) é um dos vértices da base [ABC];
  • o vértice V tem 0 de abcissa, 1,5 de afastamento e 4,5 de cota.

Proposta de resolução (2006 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 6

Represente uma pirâmide pentagonal oblíqua de base horizontal, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis e a parte invisível do contorno da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)
Dados

  • a base da pirâmide é um pentágono regular, cujo centro é o ponto O (2,5; 6; 7);
  • o ponto A, com 2,5 de abcissa e 2,5 de afastamento, é um dos vértices da base;
  • o vértice da pirâmide é o ponto V (0; 2,5; 0).

Proposta de resolução (2007 / 2ª Fase / Prova 408 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 7

Represente um prisma triangular oblíquo de bases regulares, situado no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do prisma e a sua sombra real, projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, arestas invisíveis; identifique, igualmente, a parte ocultada do contorno da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado, ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)
Dados

  • as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
  • os pontos A (0; 6,5; 0) e B (5; 6,5; 1,5) são dois vértices consecutivos de uma das bases;
  • o ponto A e o ponto D (0; 2,5; 4) são extremos de uma aresta lateral do prisma.

Proposta de resolução (2007 / 1ª Fase / Prova 408 / Grupo I / Exercício 2)

Exercício 8

Represente, em dupla projeção ortogonal, um cone de revolução de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as geratrizes invisíveis da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas
perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)
Dados

  • o plano horizontal que contém a base do sólido tem 5,5 de cota;
  • o vértice V do cone é um ponto do semiplano horizontal anterior com 2 de abcissa e 7,5 de afastamento;
  • o raio da circunferência da base mede 3,5 cm.

Proposta de resolução (2007 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 9

Represente pelas suas projeções um cilindro de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cilindro e a sua sombra real nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares
às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)
Dados

  • as bases são horizontais;
  • o ponto O (4; 7; 8) é o centro de uma das bases;
  • a base de centro O’ tem 2 de cota;
  • o raio das bases mede 4 cm.

Proposta de resolução (2008 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 10

Represente, pelas suas projeções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projeção, utilizando a direção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • a base está contida no plano frontal φ e tem 4 cm de raio;
  • o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 8 de afastamento;
  • o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.

Proposta de resolução (2009 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 11

Determine a sombra própria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projeção, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projeção, quer as projeções do prisma.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • as bases estão contidas em planos de perfil;
  • os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) são, respetivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE];
  • o plano de perfil da outra base tem – 5 de abcissa;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2010 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 12

Determine a sombra própria e a sombra real nos planos de projeção, de um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no 1.º diedro.
Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projeção, quer as projeções do
cilindro.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com
linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • o cilindro tem bases frontais cujo raio mede 4,5 cm;
  • o ponto O (0; 0; 8) é o centro de uma das bases;
  • o ponto O’, centro da outra base, tem 4,5 de cota;
  • o eixo do cilindro é de perfil e faz um ângulo de 70º com o plano frontal de projeção;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2011 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 13

Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de uma pirâmide quadrangular oblíqua, de base regular contida num plano de perfil e situada no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da
sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma
mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com
linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • os pontos A (0; 0; 3) e B (0; 4; 0) são dois dos vértices da base [ABCD] da pirâmide;
  • a aresta lateral [AV] é fronto-horizontal;
  • o vértice V tem –10 de abcissa;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2012 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 14

Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cilindro oblíquo, de bases circulares situadas em planos frontais, e situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cilindro e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • o ponto O (0; 4; 7,5) é o centro da circunferência com 3,5 cm de raio de uma das bases do cilindro;
  • as geratrizes do cilindro são horizontais e fazem um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
  • a outra base do cilindro pertence ao Plano Frontal de Projeção;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2013 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 15

Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cone oblíquo, de base circular situada num plano horizontal, e situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com
linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • a base do cone tem 4 cm de raio e pertence a um plano horizontal com 1 de cota;
  • a geratriz [AV] situada mais à esquerda é vertical, com 4 de abcissa e 6 de afastamento;
  • a geratriz [AV] mede 8 cm;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2013 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 16

Determine as projeções de um prisma oblíquo de bases regulares frontais, situado no 1.º diedro, e das suas sombras, própria e projetada nos planos de projeção.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do prisma e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção e, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • o ponto A (0; 0; 0) e o ponto B (–3; 0; 5) são vértices consecutivos do quadrado [ABCD] de uma das bases do prisma;
  • as projeções horizontais e frontais das retas que contêm as arestas laterais do prisma formam ângulos de 55° e 35°, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
  • o prisma tem 3 cm de altura;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2015 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 17

Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base regular triangular [ABC] situada num plano horizontal e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.
Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada. Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • o vértice A, com 6 de abcissa e 8 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção;
  • a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
  • o vértice B tem 2 de abcissa;
  • o vértice C tem abcissa positiva;
  • o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com abcissa nula;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2016 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 18

Determine as projeções de um cilindro oblíquo, de bases circulares contidas em planos horizontais, situado no 1.º diedro, e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cilindro e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido forte, as linhas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • o ponto O (2; 3; 0) é o centro da circunferência, com 3 cm de raio, da base de menor cota;
  • o eixo do cilindro é paralelo ao plano bissector dos diedros ímpares, β13, e a sua projeção horizontal define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x;
  • a altura do cilindro é 6 cm;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2018 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 19

Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base triangular regular, contida num plano frontal, e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.
Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido forte, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • o vértice A (0; 6; 2) pertence à aresta [AB] da base da pirâmide, que define um ângulo de 45º, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção;
  • as arestas da base medem 7 cm, e os vértices B e C têm maior cota do que o vértice A
  • o vértice V da pirâmide pertence ao Plano Frontal de Projeção e tem ‒5 de abcissa e 3 de cota;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2018 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Exercício 20

Determine as projeções de um cone oblíquo, de base circular contida num plano frontal, e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.
Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e as linhas visíveis do contorno da sombra própria e da sombra projetada.
Identifique, a traço interrompido forte, as linhas invisíveis do contorno da sombra própria e da sombra projetada.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados

  • o ponto O (0; 10; 4) é o centro da circunferência da base tangente ao Plano Horizontal de Projeção;
  • o vértice V do cone pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, β13 , e tem 4 de abcissa e 4 de afastamento;
  • a direção luminosa é a convencional.

Proposta de resolução (2019 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 3)

Grupo 4

Axonometrias ortogonais (20)

Exercício 1

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois paralelepípedos retângulos, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois paralelepípedos.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Dados
Sistema axonométrico:

  • Isometria.

Sólido:

  • a face [MNOP] de um dos paralelepípedos está contida no plano coordenado xy;
  • o ponto O coincide com a origem dos eixos;
  • o ponto N fica situado no eixo x e tem 3 de abcissa;
  • o ponto P fica situado no eixo y e tem 7 de afastamento;
  • as arestas perpendiculares à face [MNOP] medem 8 cm;
  • o segundo paralelepípedo tem 1,5 cm de altura;
  • os pontos R (8; 0; 9,5), S (0; 0; 9,5) e T (0; 7; 9,5) são três vértices da sua face de maior cota.

Proposta de resolução (2005 / 1ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 2

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides pentagonais regulares, de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.
Dados
Sistema axonométrico:

  • dimetria: o eixo axonométrico y faz ângulos de 131 "30' com os eixos axonom6tricos z e x.

(Considere os eixos coordenados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.)

Pirâmides:

  • ambas as pirâmides têm por base o pentágono regular [ABCDE], situado num plano horizontal com 7 de cota;
  • o centro do pentágono é o ponto M, que tem 4 de abcissa e 5 de afastamento;
  • o vértice A fica situado no plano coordenado lateral yz e tem 5 de afastamento;
  • o vértice principal V de uma das pirâmides tem 10 de cota; o vértice principal V' da outra pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.

Proposta de resolução (2006 / 1ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 3

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional representada, em tamanho natural, em tripla projeção ortogonal, na figura seguinte [ Figura ].
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.
Dados
Sistema axonométrico:

  • dimetria: os eixos axonométricos y e z fazem, ambos, ângulos de 130º com o eixo axonométrico x.

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 4

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projeção ortogonal na figura seguinte [ Figura ].
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.
Dados
Sistema Axonométrico:

  • Isometria.

Proposta de resolução (2006 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 5

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois prismas.
Dados
Sistema axonométrico:

  • os eixos axonométricos z e x fazem, entre si, um ângulo de 110°; os eixos axonométricos x e y fazem, entre si, um ângulo de 120°.

(Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.)

Sólido:

  • os pontos A (3; 3; 0) e B (3; 10; 0) são dois vértices da base [ABC] de um dos prismas;
  • a segunda base deste prisma tem 0 de abcissa;
  • os pontos D (3; 4,5; 0) e E (3; 8,5; 0) são dois vértices da base [DEF] do outro prisma;
  • a segunda base deste prisma tem 7 de abcissa;
  • ambos os prismas ficam situados para cima do plano horizontal xy.

Proposta de resolução (2007 / 2ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 6

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.
Dados
Sistema axonométrico:

  • as projeções axonométricas dos eixos x, y e z fazem, entre si, os seguintes ângulos:
    (xÔz) = 110° (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
    (yÔz) = 100° (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).

(Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.)

Sólido:

  • o triângulo [ABV] é uma face lateral comum às duas pirâmides;
  • os pontos A e B ficam situados no eixo y e têm, respetivamente, 2 e 6,5 de afastamento;
  • o ponto V tem coordenadas positivas;
  • a base [ABCD], de uma das pirâmides, pertence ao plano coordenado horizontal xy;
  • a base [ABEF], da outra pirâmide, pertence ao plano coordenado yz.

Proposta de resolução (2007 / 1ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 7

Construa uma representação axonométrica ortogonal da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projeção ortogonal, na figura da página seguinte [ Ver figura ].
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestasvisíveis do sólido.
Dados
Sistema axonométrico:

  • trimetria
  • as projeções axonométricas dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos: o ângulo formado pelos eixos x e z é de 105°; o ângulo formado pelos eixos y e z é de 120°.

(Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

Proposta de resolução (2007 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 8

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz 125º com as dos eixos z e y.

(Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

Prisma quadrangular:

  • as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
  • as arestas das bases medem 3 cm;
  • uma face situa-se no plano coordenado horizontal xy;
  • os pontos A (6; 3; 0) e E (6; 12; 0) definem a aresta lateral comum a essa face e à face de maior abcissa.

Cubo:

  • a face de menor cota do cubo está contida na face de maior cota do prisma;
  • os pontos R (6; 6; 3) e S (6; 9; 3) definem uma aresta do cubo.

Proposta de resolução (2008 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 9

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonometrico:

  • dimetria: a projeção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixox, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular regular:

  • a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
  • os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
  • a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.

Prisma hexagonal regular:

  • as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
  • o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.

Proposta de resolução (2009 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 10

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • trimetria: a projeção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projeções dos eixos x e z, respetivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Sólidos

  • os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular:

  • uma base está situada no plano coordenado horizontal xy;
  • os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular obliqua de base regular:

  • a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento;
  • o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

Proposta de resolução (2010 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 11

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonometrico:

  • dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz ângulos de 125º com a dos eixos y e z

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal regular:

  • duas faces são horizontais;
  • a face de menor cota está contida no plano coordenado horizontal xy;
  • o ponto A com 2 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto B com 2 de abcissa e 10 de afastamento definem uma aresta dessa face;
  • uma das bases está contida no plano coordenado de perfil yz.

Prisma quadrangular regular:

  • uma base está contida no plano coordenado horizontal xy;
  • o ponto P com 2 de abcissa e 6 de afastamento e o ponto Q com 2 de abcissa e 8 de afastamento definem a aresta de menor abcissa dessa base;
  • a outra base está contida no plano da face de maior cota do prisma hexagonal.

Proposta de resolução (2010 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 12

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por uma pirâmide hexagonal regular e um cubo.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • trimetria: a projeção axonométrica do eixo y faz ângulos de 140º e de 100º com as projeções dos eixos x e z, respetivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Sólidos:

  • têm um eixo comum contido numa reta vertical.

strong>Pirâmide hexagonal regular:

  • o ponto C (5,5; 5,5; 6) é o centro da base;
  • duas arestas da base são paralelas ao eixo x;
  • um vértice da base pertence ao plano coordenado de perfil yz;
  • o vértice da pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.

Cubo:

  • as faces estão contidas em planos paralelos aos planos coordenados;
  • a face de menor cota pertence ao plano da base da pirâmide;
  • as arestas medem 2 cm.

Proposta de resolução (2011 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 13

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares oblíquas de base regular.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • trimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com a projeção do eixo z e um ângulo de 130º com a projeção do eixo y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Pirâmides:

  • o ponto A (6; 2; 0) e o ponto B (6; 8; 0) definem uma aresta que é comum às duas bases dos sólidos;
  • as bases das pirâmides estão contidas no plano coordenado xy;
  • os vértices V e V' das pirâmides pertencem à reta vertical que contém o vértice A;
  • o vértice V tem 10 de cota e o vértice V’ tem 5 de cota;
  • o vértice V’ pertence à pirâmide que tem a aresta de base de maior abcissa.

Proposta de resolução (2012 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 14

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 110º com as projeções dos eixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

  • o ponto A (3; 2; 0) e o ponto B (3; 10; 0) são os vértices de uma aresta de uma das bases do prisma;
  • a outra base está contida no plano coordenado yz.

Cubo:

  • uma das faces do cubo pertence ao plano da base do prisma, que contém a aresta [AB];
  • os vértices desta face são os pontos médios das arestas da base do prisma.

Proposta de resolução (2012 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 15

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 125° com as projeções dos eixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal:

  • as bases do prisma pertencem a planos horizontais;
  • o ponto A (5; 0; 3) e o ponto B (10; 0; 3) são os vértices da aresta de menor afastamento de uma das bases do prisma;
  • a outra base está situada no plano coordenado xy.

Prisma triangular:

  • as bases do prisma pertencem a planos frontais;
  • o segmento [AB] é a aresta de menor cota de uma das bases deste prisma;
  • a outra base pertence ao plano que contém a face lateral de maior afastamento do prisma hexagonal.

Proposta de resolução (2013 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 16

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadradas. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com as projeções axonométricas dos eixos y e z.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

  • os dois prismas são iguais, com arestas paralelas aos eixos coordenados, e têm 2 cm de altura;
  • o vértice A (8; 8; 0) e o vértice B (8; 8; 7) definem a aresta de maior abcissa e de maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz;
  • o outro prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz, e o vértice B é o de maior abcissa da aresta de menor cota da base de maior afastamento.

Proposta de resolução (2016 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 17

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas regularesde bases quadradas.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
DadosSistema axonométrico: /strong>

  • dimetria: a projeção axonométrica do eixo x define um ângulo de 110º com a projeção axonométrica doseixos y e z.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo paracima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

  • os três prismas são iguais e as suas arestas são paralelas aos eixos coordenados;
  • as arestas das bases dos prismas medem 2 cm.

Prisma 1:

  • o vértice M (7; 7; 9) e o vértice N (7; 7; 2) definem a aresta lateral com maior abcissa e maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado xy.

Prisma 2:

  • o vértice M é o de maior abcissa e menor cota da base com maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado xz.

Prisma 3:

  • o vértice N é o de maior afastamento e maior cota da base com maior abcissa do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz.

Proposta de resolução (2017 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 18

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases quadradas.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • dimetria: a projeção axonométrica do eixo z define um ângulo de 110º com a projeção axonométrica doseixos x e y.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

  • os três prismas são iguais e as suas arestas são paralelas aos eixos coordenados;
  • o vértice A (3; 3; 0) é comum aos três prismas;
  • as arestas das bases dos prismas medem 3 cm;
  • os prismas têm 7 cm de altura.

Prisma 1:

  • o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado yz;
  • o vértice A é o de maior afastamento e menor cota da base com menor abcissa.

Prisma 2:

  • o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz;
  • o vértice A é o de maior abcissa e menor cota da base com menor afastamento.

Prisma 3:

  • o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xy;
  • o vértice A é o de maior abcissa e maior afastamento da base com menor cota.

Proposta de resolução (2017 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 19

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • isometria

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

  • os prismas têm bases paralelas ao plano coordenado yz;
  • os prismas têm 3 cm de altura.

Prisma 1:

  • os vértices A (7; 2; 8) e B (7; 10; 8) definem uma aresta da base de maior abcissa;
  • o outro vértice desta base é o de menor cota.

Prisma 2:

  • as arestas das bases deste prisma medem 4 cm;
  • o vértice B é o de maior afastamento da aresta paralela ao eixo y da base de maior abcissa;
  • o outro vértice desta base é o de maior cota.

Proposta de resolução (2018 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 20

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por duas pirâmides oblíquas de bases quadradas.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • isometria

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Pirâmides:

  • as duas pirâmides são iguais;
  • as arestas das bases medem 5 cm;
  • duas arestas das bases são paralelas ao eixo y, e as outras duas são paralelas ao eixo z;
  • os pontos V (0; 0; 5) e V’ (10; 0; 5) são, respetivamente, os vértices da pirâmide 1 e da pirâmide 2.

Pirâmide 1:

  • o vértice de menor afastamento e de maior cota da base coincide com o vértice V’ da pirâmide 2.

Pirâmide 2:

  • o vértice de menor afastamento e de menor cota da base coincide com o vértice V da pirâmide 1.

Proposta de resolução (2020 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Axonometrias oblíquas (16)

Exercício 1

Construa uma representação axonométrica clinogonal, em perspetiva cavaleira, de uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois prismas.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Dados
Sistema axonométrico:

  • o eixo axonométrico y faz um ângulo de 145º com o eixo axonométrico x;
  • as projetantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

Sólido:

  • o quadrado horizontal [ABCD] é uma face lateral de ambos os prismas;
  • os pontos A (5; 5; 5) e B (0; 5; 5) definem uma aresta da base [ABE] de um dos prismas;
  • o vértice E fica situado acima do plano do quadrado
  • os pontos A e D (5; 0; 5) definem uma aresta da base [ADG] do outro prisma;
  • o vértice G fica situado abaixo do plano do quadrado.

Proposta de resolução (2005 / 2ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 2

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva militar, de um sólido composto por um cilindro e por um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido resultante da justaposição do cone com o cilindro.
Dados
Sistema axonométrico:

  • o eixo axonométrico x faz um ângulo de 120º com o eixo axonométrico z.
  • as projetantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.

(Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.)

Cone e cilindro:

  • os dois sólidos têm um eixo vertical comum;
  • a base do cone tem 4 cm de raio e centro no ponto C (4; 4; 11);
  • o cilindro tem 2,5 cm de raio, e uma das suas bases ficasituada no mesmo plano da base do cone;
  • o centro da outra base do cilindro é o ponto C', que tem 18 de cota;
  • o vértice V do cone pertence ao plano coordenado horizontal xy.

Proposta de resolução (2006 / 2ª Fase / Prova 408 / Grupo II / Exercício 2)

Exercício 3

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva cavaleira, da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projeção ortogonal [ Forma tridimensional ].
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.
Dados
Sistema axonométrico:

  • o eixo axonométrico y faz, respetivamente, ângulos de 150° e de 120° com os eixos axonométricos x e z;
  • as projetantes fazem ângulos de 55° com o plano axonométrico.

(Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

Proposta de resolução (2007 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 4

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva cavaleira, de um sólido composto por dois cilindros de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • o eixo axonométrico y faz ângulos de 145º e de 125º com os eixos axonométricos x e z, respetivamente;
  • as projetantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

(Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

Cilindros:

  • os dois sólidos têm as bases paralelas ao plano coordenado frontal zx;
  • o ponto O (6; 0; 4) é o centro de uma das bases de um cilindro que tem 7 cm de altura e que é tangente ao plano coordenado horizontal xy;
  • o ponto O’ (6; 11; 4) é o centro de um círculo de 2 cm de raio que é a base de maior afastamento do outro cilindro que tem 4 cm de altura.

Proposta de resolução (2008 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 5

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonometrico:

  • o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respetivamente;
  • as projetantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixox, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

  • os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
  • ambos os prismas têm 9 cm de altura.

Prisma triangular regular 1:

  • os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.

Prisma triangular regular 2:

  • o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
  • a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
  • a aresta da base mede 4 cm.

Proposta de resolução (2009 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 6

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva cavaleira, de um sólido composto por uma pirâmide quadrangular oblíqua de base regular e por um cilindro de revolução.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • o eixo axonométrico y faz ângulos de 135º com os eixos axonométricos x e z;
  • as projetantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Pirâmide quadrangular oblíqua de base regular:

  • a base está situada no plano coordenado horizontal xy;
  • o ponto R com 3 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto S com 10 de abcissa e 4 de afastamento definem a aresta de menor afastamento da base;
  • a face [RSV] é um triângulo isósceles paralelo ao plano coordenado frontal zx;
  • o ponto V com 8 de cota é o vértice da pirâmide.

Cilindro de revolução:

  • uma base está situada no plano coordenado frontal zx;
  • o raio das bases mede 3 cm;
  • o ponto V é o centro da base de maior afastamento.

Proposta de resolução (2011 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 7

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção do eixo z e um ângulo de 130° com o eixo x;
  • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 50°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

  • as bases do prisma pertencem a planos frontais;
  • o ponto A (12; 6; 0) e o ponto B (6; 6; 0) são os vértices da aresta de menor cota da base de maior afastamento do prisma;
  • o prisma tem 2 cm de altura

Prisma triangular:

  • o ponto R (6; 2; 6) e o ponto S (6; 8; 6) são os vértices da aresta de maior abcissa da base de maior cota do prisma;
  • a outra base do prisma pertence ao plano coordenado xy.

Proposta de resolução (2013 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 8

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por um prisma regular de base quadrangular e por um cubo.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 135° com as projeções dos eixos z e x;
  • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma quadrangular:

  • as bases do prisma pertencem a planos frontais;
  • o ponto A (4; 12; 0) e o ponto C (9; 12; 5) são os vértices de uma das diagonais da base de maior afastamento do prisma;
  • o prisma tem 11 cm de altura.

Cubo:

  • as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados;
  • o vértice C é comum aos dois sólidos, sendo o vértice de menor abcissa, maior afastamento e maior cota do cubo;
  • a aresta do cubo mede 3 cm.

Proposta de resolução (2014 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 9

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadrangulares.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 150° com a projeção do eixo z e um ângulo de 120° com a projeção do eixo x;
  • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas quadrangulares regulares:

  • os dois prismas são iguais e têm 8 cm de altura;

Prisma 1:

  • as bases do prisma são frontais;
  • o ponto R (9; 10; 8) e o ponto S (5; 10; 8) definem a aresta de maior cota, da base com maior afastamento.

Prisma 2:

  • as bases do prisma são horizontais;
  • o ponto S e o ponto T (1; 10; 8) definem a aresta de maior afastamento, da base com maior cota.

Proposta de resolução (2014 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 10

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois cones de revolução.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados Sistema axonométrico:

  • a projeção do eixo y forma um ângulo de 120° com a projeção do eixo z e um ângulo de 150° com a projeção do eixo x;
  • a inclinação das retas projetantes em relação ao plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Cones:

  • os dois cones são iguais e têm uma geratriz comum;
  • o ponto O (9; 2; 5) e o ponto O’ (6; 12; 5) são os centros das bases de cada um dos cones;
  • as bases são paralelas ao plano coordenado xz e têm 3 cm de raio.

Proposta de resolução (2015 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 11

Represente, em axonometria clinogonal militar, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados Sistema axonométrico:

  • a projeção do eixo z forma um ângulo de 130° com a projeção do eixo x e um ângulo de 140° com a projeção do eixo y;
  • a inclinação das retas projetantes em relação ao plano axonométrico é de 50°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

  • as bases de menor cota dos prismas pertencem ao plano coordenado xy.

Prisma 1:

  • os vértices R (6; 2; 0) e S (6; 8; 0) são os de maior abcissa de uma das suas bases;
  • o prisma tem 9 cm de altura

Prisma 2:

  • os vértices R e Q (6; 6; 0) são os de menor abcissa de uma das suas bases;
  • o prisma tem 5 cm de altura.

Proposta de resolução (2015 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 12

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z;
  • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

  • os dois prismas são iguais e têm 3 cm de altura;
  • os prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado xz

Prisma 1:

  • o vértice A (4; 9; 7) e o vértice B (10; 9; 7) definem uma aresta da base com maior afastamento;
  • o outro vértice dessa base é o de menor cota.

Prisma 2:

  • o vértice R (13; 9; 7) é o de maior abcissa da aresta, paralela ao eixo x, da base com maior afastamento;
  • o outro vértice dessa base é o de maior cota.

Proposta de resolução (2016 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 13

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases triangulares.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z;
  • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas

  • os três prismas têm bases paralelas ao plano coordenado xz;
  • os prismas têm 3 cm de altura.

Prisma 1:

  • o vértice A (11; 10; 7) e o vértice B (16; 10; 7) definem uma aresta da base de maior afastamento [ABC];
  • o vértice C desta base é o de menor cota.

Prisma 2:

  • as arestas das bases medem 3 cm;
  • o vértice B é o de maior abcissa da aresta paralela ao eixo x da base de maior afastamento;
  • o outro vértice desta base é o de maior cota.

Prisma 3:

  • as arestas das bases medem 8 cm;
  • o vértice C é o de maior abcissa da aresta paralela ao eixo x da base de maior afastamento;
  • o outro vértice desta base é o de maior cota.

Proposta de resolução (2018 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 14

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois conesde revolução.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 130º com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 140º com a projeção axonométrica do eixo z;
  • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Cones:

  • os cones são iguais e têm bases paralelas ao plano coordenado xz.

Cone 1:

  • o ponto O (12; 9; 3) é o centro da circunferência da base tangente ao plano coordenado xy;
  • o vértice V pertence ao plano coordenado xz.

Cone 2:

  • o ponto O’ (9; 9; 3) é o centro da base;
  • o vértice V’ tem maior afastamento do que a base.

Proposta de resolução (2019 / 1ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 15

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por três cubos.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 120º com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 150° com a projeção axonométrica do eixo z;
  • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Cubos:

  • as arestas dos cubos são paralelas aos eixos coordenados.

Cubo 1:

  • o vértice A (9; 6; 0) e o vértice B (9; 10; 0) definem uma das arestas de maior abcissa.

Cubo 2:

  • as arestas medem 6 cm;
  • o vértice A é o de maior afastamento de uma das arestas de maior abcissa.

Cubo 3:

  • as arestas medem 2 cm;
  • o vértice B é o de menor afastamento de uma das arestas de maior abcissa.

Proposta de resolução (2019 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

Exercício 16

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por um prisma reto de bases quadradas e por um cubo.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:

  • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 135º com a projeção axonométrica dos eixos x e z;
  • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55º.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prisma:

  • o vértice A (3; 3; 4) é o de menor abcissa e de menor afastamento de uma das bases;
  • as arestas das bases medem 7 cm;
  • duas arestas das bases são paralelas ao eixo x, e as outras duas são paralelas ao eixo y;
  • a outra base pertence ao plano coordenado xy.

Cubo:

  • o vértice P coincide com o centro da base superior do prisma e é o vértice de maior abcissa e de maior afastamento da face de menor cota do cubo;
  • uma face do cubo pertence ao plano xz, e a outra face pertence ao plano yz.

Proposta de resolução (2020 / 2ª Fase / Prova 708 / Exercício 4)

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2ª FASE - EXAME GD
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