Exercícios - 11º/12º Ano
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Este espaço é dedicado, em especial, a todos os alunos do 11º/12º Ano  que frequentam a disciplina de Geometria Descritiva A.

Serão expostos exercícios ao longo do ano lectivo que correspondem aos conteúdos programáticos desta disciplina.

A resolução dos exercícios fica a carga dos alunos. Por isso, estão todos convidados a participarem. Assim que receber uma proposta de resolução esta será editada no site com a identificação do aluno. Posteriormente será colocado outro exercício.

Alguns exercícios poderão apresentar um grau de dificuldade superior aquele que encontramos nos manuais, o objectivo é fomentar  o raciocínio do aluno para que fique apto a resolver qualquer problema (dentro do âmbito do programa).

Para participar basta resolver o exercício numa folha A4, digitalizar a folha e enviar a imagem. Obrigado.


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Enunciados propostos por Elísio Silva

 
 
 

          Exercícios Resolvidos
 
 

Enúnciados    
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Exercício 01    Exercício 02    Exercício 03    Exercício 04    Exercício 05    Exercício 06    Exercício 07    Exercício 08    Exercício 09  Exercício 10
Exercício 11    Exercício 12    Exercício 13    Exercício 14    Exercício 15    Exercício 16    Exercício 17    Exercício 18    Exercício 19
 Exercício 20  
Exercício 21    Exercício 22    Exercício 23    Exercício 24    Exercício 25    Exercício 26    Exercício 27    Exercício 28    Exercício 29  Exercício 30  
Exercício 31    Exercício 32    Exercício 33    Exercício 34    Exercício 35    Exercício 36   
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Exercício 36
– Tema: Ângulos

Determine, em dupla projecção ortogonal, as projecções da recta r, sabendo que esta faz um ângulo de 60º com o plano α.

Dados:
- o plano α intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços fazem ângulos de 30º (a.d.)
  e de 45º (a.d.) com este eixo, respectivamente o traço frontal e o traço horizontal.
- a recta r contém os pontos R (2;6;6) e S;
- o ponto S situa-se no 1º diedro, tem 2,5 de cota e pertence ao plano α.

Proposta de Resolução     
Nome: João Távora | Escola: Alemã de Lisboa (ex-aluno) | Site da Escola: www.dslissabon.com | Data: 05/2010


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Exercício 35
– Tema: Distâncias

Determine, em dupla projecção ortogonal, as projecções do ponto P, sabendo que este dista 5 cm dos pontos A e B. Represente, também, as projecções dos segmentos de recta [AP] e [BP].

Dados:
- A (4; 3; 5); B (-2; 2; 2);
- o ponto P situa-se no 1º diedro e tem 3 cm de cota.

Proposta de Resolução     
Nome: Ricardo Gomes Reis | Escola: Secundária Domingos Sequeira - Leiria | Site da Escola: www.esds.edu.pt | Data: 04/2010


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Exercício 34
– Tema: Poliedros

Represente, em dupla projecção ortogonal, as projecções de uma pirâmide triangular oblíqua de base regular.

Dados:
- a base está contida num plano que faz ângulos iguais com os três planos de projecção (xy, xz e yz);
- a circunferência circunscrita à base tem 3,5 cm de raio, o seu centro tem 4 cm de abcissa e este dista o
  mesmo em relação ao três planos de projecção (xy, xz e yz).
- cada uma das arestas da base é ortogonal um dos eixos (x, y e z);
- a base é visível nas três projecções;
- V (0; 1; 0)

Proposta de Resolução     
Nome: Ricardo Soares | Escola: Secundária Dr. Manuel Gomes de Almeida - Espinho | Site da Escola: www.esmga.net | Data: 02/2010


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Exercício 33
– Tema: Poliedros

Represente as projecções de uma pirâmide triangular regular.

Dados:
- a base está contida num plano oblíquo ortogonal ao β13;
- este plano intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de
  45º (a.d.) com este eixo;
- um dos vértices da base, o de maior cota, pertence ao plano frontal de projecção;
- as arestas laterais formam ângulos de 70º com o plano da base;
- V (4; 7; 8) é o vértice principal da pirâmide.

Proposta de Resolução     
Nome: Ricardo Gomes Reis | Escola: Secundária Domingos Sequeira - Leiria | Site da Escola: www.esds.edu.pt | Data: 02/2010


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Exercício 32
– Tema: Distâncias

Determine graficamente a verdadeira grandeza da distância entre os pontos R e S, situados no 1º diedro.

Dados:

- o ponto R resulta da intersecção de três planos - θ,α e β;
- o ponto S tem 9 cm de afastamento e abcissa igual à do ponto R;
- o plano θ é horizontal e tem 3 cm de cota;
- o plano α é de topo, intersecta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 45º (a.d.) com o
  plano horizontal de projecção;
- o plano β está definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (-6;-5; 5). O traço frontal intersecta o eixo x
  num ponto com 1 cm de abcissa e faz com este eixo um ângulo de 45º (a.d.);
- os pontos R e S são simétricos em relação a um plano de rampa que forma um diedro de 45º com o plano
  horizontal de projecção.


Proposta de Resolução     
Nome: João Severino | Escola: Secundária Rainha Dona Leonor - Lisboa | Site da Escola: www.escolarainhadleonor.eu | Data: 01/2010


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Exercício 31 – Tema: Paralelismo

Determine os traços dos planos α e β, paralelos entre si.

Dados:

- o plano α contém a recta p definida pelos pontos A (0; -7; 7) e B (0; 6; -2);
- o plano β contém os pontos R(0; 2; -2) e S (-5; -3; 3).

Proposta de Resolução     
Nome: Francisco Saraiva | Escola: Colégio Manuel Bernardes - Lisboa | Site da Escola: www.cmb.pt | Data: 01/2010


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Exercício 30 – Tema: Sólidos compostos

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por um paralelepípedo rectângulo e por um prisma triangular recto. Todos os vértices têm coordenadas positivas.

Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico: isometria

Dados:
- cada sólido tem uma face contida no plano coordenado xy;
- as bases do prisma triangular são triângulos rectângulos e estão contidas em planos de perfil;
- o paralelepípedo tem duas faces frontais;
- os pontos  D (8; 4; 2) e E (0; 0; 2) são extremos de uma diagonal de uma das faces do paralelepípedo;
- os pontos F (3; 4; 2) e G (0; 10; 0) são extremos de uma diagonal de uma das faces do prisma.

Proposta de Resolução     
Nome: João Martins | Escola: Externato Crisfal - Lisboa | Site da Escola: www.crisfal.pt | Data: 06/2009


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Exercício 29 – Tema: Sólidos compostos

Represente a projecção axonométrica oblíqua de uma forma tridimensional, composta por dois prismas quadrangulares.

Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- cavaleira;
- o eixo axonométrico x faz um ângulo de 155º com o eixo axonométrico z;
  Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima,
   e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.
- as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

Dados:
- um dos prisma é regular e tem uma face contida em cada um dos planos coordenados;
- R (3; 3; 7) é um vértice do prisma;
- o outro prisma é oblíquo e tem as bases de perfil (paralelas ao plano coordenado yz);
- o segmento de recta [RS] é uma das diagonais da base de menor abcissa;
- S (3; 0; 4);
- a diagonal interna (espacial) do prisma oblíquo que tem um dos extremos em R é projectante

Proposta de Resolução     
Nome:Miguel Rodrigues | Escola: Secundária de Anadia | Site da Escola :www.secundariaanadia.pt | Data: 06/2009


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Exercício 28 – Tema: Sólidos compostos

Construa uma representação axonométrica oblíqua de uma forma tridimensional, composta por um prisma quadrangular oblíquo e por um prisma triangular regular.

Considere, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- militar (planométrica);
- o eixo axonométrico x faz um ângulo de 125º com o eixo axonométrico z;
- Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima,
  e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.
- as projectantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.


Dados:
- os pontos R (0; 8; 4) e S (4; 8; 4) são extremos de uma aresta lateral do prisma triangular;
- este prisma tem uma face lateral contida no plano coordenado xy;
- as bases do prisma quadrangular têm 4 cm de lado e são horizontais;
- a aresta lateral de maior afastamento e de menor abcissa deste prisma pertence ao plano coordenado yz,
  faz um ângulo de 60º com o plano coordenado xy e o ponto R é o seu ponto médio.
- a aresta de menor afastamento do  sólido composto é paralela ao eixo x e tem cota nula.


Proposta de Resolução     
Nome: Igor Nunes | Escola: Sec. Dr. A. C. S. Ferreira - Rio Maior | Site da Escola: www.esec-dr-a-c-silva-ferreira.rcts.pt | Data: 06/2009


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Exercício 27
– Tema: Sólidos compostos

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por uma pirâmide triangular e por um prisma triangular regular. Todos os vértices têm coordenadas positivas.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.


Sistema axonométrico: isometria


Dados:

- uma das bases do prisma está contida no plano coordenado xy;
- as faces laterais do prisma são quadrados;
- o segmento de recta [MN] é uma das arestas da base superior do prisma;
- M tem 6 cm de abcissa e pertence ao plano coordenado xz; N tem 4 cm de afastamento;
- a base da pirâmide coincide com a base superior do prisma;
- uma das faces laterais da pirâmide, [MNV],é equilátera e paralela ao plano axonométrico.

Proposta de Resolução     
Nome: Frederico Oom | Escola: Externato Crisfal - Lisboa | Site da Escola: www.crisfal.pt | Data: 05/2009



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Exercício 26 – Tema: Sombras de Sólidos

Represente as projecções de um cone oblíquo situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projecção.

Dados:

- a sombra do cone no plano horizontal de projecção é um círculo com 4 cm de raio e tem centro no ponto C (-4; -2; 0);
- a base do cone é tangente ao plano frontal de projecção e está contida num plano projectante frontal;
- uma, e só uma, geratriz do cone tem a direcção da luz;
- o vértice do cone pertence ao eixo x e tem abcissa superior à do ponto C.

Proposta de Resolução     
Nome: Nuno Peres | Escola: Escola Sec. . Manuel Martins - Setúbal | Site da Escola: www.esec-d-manuel-martins.rcts.pt | Data: 05/2009




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Exercício 25 – Tema: Secções Planas

Represente as projecções do sólido resultante da secção produzida numa esfera por um plano projectante frontal. Considere o sólido mais próximo do plano horizontal e projecção.

Dados:

- os pontos A (2; 4; 8), B (-1; 3; 5) e C (8; 4) pertencem à circunferência de intersecção do plano secante com a superfície
  esférica;
- o centro da esfera tem 5 cm de cota.

Proposta de Resolução     
Nome: Rui Silva | Escola: CENFIM - Trofa | Site da Escola: www.cenfim.pt | Data: 04/2009




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Exercício 24
– Tema: Distâncias

Determine graficamente a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano α.

Dados:

- ambos os traços, nos planos de projecção, do plano α fazem ângulos de 80º (a.d.) com o eixo x;
- o plano α intersecta o eixo x num ponto com abcissa nula;
- P (4; 7; 9)

Proposta de Resolução     
Nome: Rui Silva | Escola: CENFIM - Trofa | Site da Escola: www.cenfim.pt | Data: 04/2009





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Exercício 23 – Tema: Intersecções, Paralelismo e Perpendicularidade

Represente as projecções do ponto I de intersecção da recta r com o plano α.

Dados:

- a recta r é paralela aos planos θ e β13 e contém o ponto P(-3; 7; 5);
- o plano θ está definido por três pontos: A(-3; 5; 3), B(-3; -3; 8) e C(6; -3; -4);
- o plano α é ortogonal à recta r e contém o ponto A.


Proposta de Resolução     
Nome: Nuno Peres | Escola: Secundária Dom Manuel Martins | Site da Escola: www.esec-d-manuel-martins.rcts.pt | Data: 12/2008





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Exercício 22 – Tema: Axonometrias

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta  por  duas pirâmides quadrangulares oblíquas. O sólido fica situado no 1º triedro.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados
Sistema axonométrico: isometria

Dados das pirâmides:

- o segmento de recta [MN] é uma aresta lateral comum às duas pirâmides, M(4; 1; 0) e N(4; 1; 8);
- o ponto M é o vértice principal de uma das pirâmides e um dos vértices da base da outra pirâmide;
- a aresta lateral [MN]  é perpendicular às bases das pirâmides;
- ambas as bases têm 4 cm de lado;
- cada pirâmide tem uma face lateral paralela ao plano xz..
- a aresta de menor abcissa é uma das arestas de maior cota, do sólido composto.

Proposta de Resolução     
Nome: Rita Cerqueira Portela | Escola: Secundária com 3º CEB de Ponte de Sôr | Site da Escola: www.esps.edu.pt | Data: 06/2008




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Exercício 21 – Tema: Axonometrias
 
Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma quadrangular regular.
O sólido fica situado no 1º triedro.

Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Dados
Sistema axonométrico: anisometria
- xÔz=125°; yÔz=115°

Prisma quadrangular regular:
- uma das bases está assente no plano xy;
- uma das diagonais internas (espaciais) é perpendicular ao plano axonométrico e contém o vértice A (3; 3; 0);
- as bases têm 5 cm de lado.

Proposta de Resolução     
Nome: Diogo Pereira | Escola: Secundária Almeida Garrett | Site da Escola:www.esec-almeida-garrett.rcts.pt | Data: 06/2008



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Exercício 20 – Tema: Axonometrias

Construa uma representação axonométrica oblíqua da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, apresentada na figura.

Sistema axonométrico:
- militar (planométrica);
- o eixo axonométrico x faz um ângulo de 135º com o eixo axonométrico z;
- considera os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima,
   e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.
- as projectantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.

Dados:
Forma tridimensional - visualizar

Proposta de Resolução     
Nome: Joana Paulo | Escola: Secundária Artística António Arroio | Site da Escola: www.antonioarroio.org | Data: 05/2008


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Exercício 19 – Tema: Secções Planas

Represente as projecções do sólido resultante da secção produzida num tetraedro pelo β13.
Considere o sólido compreendido entre o plano secante e o plano horizontal de projecção.

Dados:
- A (6; 4; 7) é um dos 4 vértices do tetraedro;
- uma das faces está contida no plano horizontal de projecção;
- a aresta de menor afastamento é fronto-horizontal.

Proposta de Resolução     
Nome: Ângela Alves | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 04/2008


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Exercício 18 – Tema: Esfera
 
Represente o contorno aparente de uma esfera, em ambas as projecções (projecção horizontal e projecção frontal).

Dados:

- a superfície esférica está definida por 4 pontos: A (2; 4; 3), B (-1; 3; 3), C (-3; 7; 3) e D (1; 8; 8).

Proposta de Resolução     
Nome: Filipa Pinho | Escola: Secundária de Santa Maria da Feira | Site da Escola: www.esec-sta-maria-feira.rcts.pt | Data: 03/2008




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Exercício 17 – Tema: Posição relativa de rectas
 
Determine as projecções de uma recta n de nível (horizontal) com 2 cm de cota e concorrente com as rectas de perfil p e p’, sem recorrer a processos geométricos auxiliares ( rebatimentos; rotações; mudança do diedro de projecção).

Dados:
- a recta p contém os pontos R (0; 0; 0) e S (7;8);
- a recta p’ contém os pontos M (-4; 6; 1) e N (-2; 7).

Proposta de Resolução     
Nome: Ricardo Matos | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 02/2008




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Exercício 16 – Tema: Projecções de poliedros
 
Represente as projecções de um cubo, situado no 1º diedro.

Dados:
- [AC] é uma diagonal de uma das faces do cubo;
- A (4; 3; 2), C pertence ao plano frontal de projecção;
- uma das diagonais internas (espaciais) do cubo [AG] é vertical;
- o cubo tem 4 arestas de perfil.

Proposta de Resolução     
Nome: Ângela Alves | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 02/2008



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Exercício 15 – Tema: Projecções de poliedros
 
Represente as projecções de uma pirâmide pentagonal regular.

Dados:
- a base está contida no plano oblíquo α;
- o plano α intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e os seus traços, nos planos de projecção, fazem
  ângulos de 45º (a.d.) e de 60º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
- o lado de maior cota do pentágono é horizontal e o vértice que lhe é oposto pertence ao plano horizontal de projecção;
- o vértice principal da pirâmide tem -4 cm de abcissa e pertence ao plano horizontal de projecção;
- a pirâmide tem 4 cm de altura.

Proposta de Resolução     
Nome: Ângela Alves | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 02/2008



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Exercício 14 – Tema: Perpendicularidade
 
Determine as projecções das rectas r, s e t, concorrentes entre si no ponto P.

Dados:
- a recta r passa pelo ponto R (2; 2; 2); a recta s passa pelo ponto S (-4; 7; 2); a recta t passa pelo ponto T (-4; 0: 4);
- as rectas são perpendiculares entre si;
- o ponto P tem maior cota do que os pontos R e S.

Proposta de Resolução     
Nome: Sérgio Tavares | Escola: Colégio dos Carvalhos | Site da Escola: www.cic.pt | Data: 01/2008



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Exercício 13 –
Tema: Paralelismo

Determine as projecções da recta r paralela ao plano α.

Dados:
- o plano α está definida por uma das suas rectas de maior inclinação - recta i;
- a recta i está contida no β24, intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e a sua projecção frontal faz um
  ângulo de 50º com o eixo x (a.e.);
- a recta r é paralela ao β13 e contém o ponto R (-2; 5; 4).

Proposta de Resolução     
Nome: Ângela Alves | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 11/2007



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Exercício 12 –
Tema: Perpendicularidade

Determine os traços nos planos de projecção do plano θ ortogonal à recta r.

Dados:
- os traços da recta r nos planos de projecção têm 2 cm de abcissa e -2 cm de abcissa,
  o traço horizontal e o traço frontal respectivamente;
- as projecções da recta r fazem ângulos de 80º (a.d.) e de 70º (a.e.) com o eixo, a projecção frontal e a projecção
   horizontal respectivamente.
- o plano θ contém o ponto P (2; 7; 5).

Proposta de Resolução  
Nome: Ricardo Matos | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 10/2007



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Exercício 11 –
Tema: Perpendicularidade

Determine os traços nos planos de projecção do plano θ ortogonal à recta r.

Dados:
- os traços da recta r nos planos de projecção têm 2 cm de abcissa e -2 cm de abcissa,
  o traço horizontal e o traço frontal respectivamente;
- a recta r é paralela ao β24 e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 80º (a.e.) com o eixo;
- o plano θ contém o ponto A (0; 7; 5)

Proposta de Resolução  
Nome: Ricardo Matos | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 10/2007



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Exercício 10 – Tema: Perpendicularidade

Determine os traços nos planos de projecção do plano ω ortogonal aos planos θ e β13.

Dados:
- o plano θ intersecta o eixo x num ponto com abcissa nula e os seus traços fazem com este eixo ângulos de 80º (a.e.)
  e de 45º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
- o plano ω intersecta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa.

Proposta de Resolução  
Nome: Ricardo Matos | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 10/2007



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Exercício 09 – Tema: Paralelismo

Determine os traços do plano de rampa θ paralelo à recta de perfil p, sem recorrer a processos geométricos auxiliares ( rebatimentos; rotações; mudança do diedro de projecção).

Dados:
- o plano θ contém o ponto P (-4; 3; 4)
- a recta de perfil p está definida pelos pontos A (2; -2; 1) e B (3; 3).

Proposta de Resolução  
Nome: Ricardo Matos | Escola: Secundária Cacilhas - Tejo | Site da Escola: www.esec-cacilhas-tejo.rcts.pt | Data: 10/2007



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Exercício 08 –
Tema: Paralelismo

Determine as projecções da recta r paralela ao plano ω.

Dados:
- o plano ω cruza o eixo num ponto com 3 cm de abcissa está definido pelos seus traços;
- os traços fazem com o eixo x ângulos de 45º (a.d.) e de 70º (a.d.), respectivamente, o traço frontal e o traço horizontal;
- a recta r é concorrente com o eixo num ponto com -3 cm de abcissa e a sua projecção horizontal faz um ângulo
  de 45º (a.d.).

Proposta de Resolução  
Nome: Tiago Rodrigues | Escola: Sec. M. Amália Vaz de Carvalho | Site da Escola: www.esec-m-a-vaz-carvalho.rcts.pt | Data: 09/2007



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Exercício 07–
Tema: Paralelismo e Intersecções

Determine os traços do plano ω paralelo ao plano θ.

Dados:
- o plano θ está definido pelas rectas r e s;
- a recta r contém os pontos R (-4; -2; -3); S (2; 0; 0);
- as projecções da recta s são coincidentes com as projecções contrárias da recta r;
- o plano ω contém o ponto P (-4; 2; 2).

Proposta de Resolução  
Nome: Fancisca Moura | Escola: Secundária de Lousada | Site da Escola: www.esec-lousada.rcts.pt | Data: 05/2007



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Exercício 06 - Tema: Sombras de Figuras Planas

Numa folha de formato A4 (ao alto), represente as projecções de um triângulo [RST]
Determine a sombra projectada, nos planos de projecção, pelo triângulo.

Utilize a direcção luminosa convencional.

Dados:
- R (9; 2; 4); S (2; 14; 0); T (-3; 2; 10).

Proposta de Resolução  
Nome: Frederico Lopes | Escola: Colégio Manuel Bernardes | Site da Escola: www.cmb.pt
| Data: 04/2007



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Exercício 05 - Tema: Problemas Métricos (distâncias)

Determine as projecções do ponto P sabendo que a distância deste ponto aos pontos A, B e C é a mesma.

Dados:
- A (5; 0; 0); B (0; -1; 6); C (-2; 6; 1).
- o ponto P tem cota nula.

Proposta de Resolução  
Nome: Cludia Bonana | Escola: Secundária de Vila Real Stº António | Site da Escola: www.esec-v-real-sto-antonio.rcts.pt | Data: 04/2007



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Exercício 04 - Tema: Problemas Métricos (ângulos)

Determine a verdadeira grandeza do ângulo entre uma recta vertical e o plano θ.

Dados:
- o plano θ está definido pelos pontos A,B e C.
- A (2; 0; 0); B (2; 6; 2); C (-6; -2; -6).


Proposta de Resolução  
Nome:Frederico Lopes | Escola: Colégio Manuel Bernardes | Site da Escola: www.cmb.pt | Data: 02/2007



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Exercício 03 - Tema: Projecções de Polígonos

Determinar as projecções de um rectângulo  [ABCD] contido num plano de rampa.

Dados:
- o traço horizontal do plano tem 4 cm de afastamento;
- a diagonal [AC] é de perfil, mede 8 cm e os vértices A e C pertencem aos planos de projecção, respectivamente,
  plano horizontal e plano frontal;
- B é o vértice mais à direita e tem menor cota do que o vértice D;
- os lados maiores são duplos dos lados menores.

Proposta de Resolução  
Nome: Carolina Moniz e Diogo Oliveira | Escola: Colégio Manuel Bernardes | Site da Escola: www.cmb.pt | Data: 12/2006



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Exercício 02 - Tema: Perpendicularidade

Considere o plano θ ortogonal ao β1.3. Determine os traços do plano α ortogonal
ao plano θ.

Dados
- os pontos A (4; 4; 3) e B (-1; 1; -5) definem a recta r que pertence ao plano θ;
- os planos θ e α intersectam o eixo x no mesmo ponto;
- o traço horizontal do plano α  faz um ângulo de 45º (a.e) com o eixo x.

Proposta de Resolução  
Nome: Carolina Moniz | Escola: Colégio Manuel Bernardes | Site da Escola: www.cmb.pt | Data: 12/2006



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Exercício 01 - Tema: Intersecções e Paralelismo

Considere os planos ω oblíquo e θ de topo. Determine os traços do plano α paralelo à recta i de intersecção dos
planos ω e θ.

Dados
- o plano ω intersecta o eixo x num ponto com 6 cm de abcissa;
- os traços do plano ω fazem ângulos de 45º (a.d.) e de 60º (a.d.) com o eixo x, respectivamente,
  o traço frontal e otraço horizontal;
- o plano θ intersecta o eixo x num ponto com -8 cm de abcissa e faz um diedro de 30º (a.e.)
  com o plano horizontal de projecção;
- o plano α contém o ponto P (-2; 0; 2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 50º (a.d.) com o eixo x.

Proposta de Resolução  
Nome: António Rêgo | Escola: Colégio Manuel Bernardes | Site da Escola: www.cmb.pt | Data: 11/2006



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